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samedi 27 octobre 2012

Sur la Conjecture ABC d'Oesterlé et Masser.

On parle beaucoup de la conjecture ABC depuis cet été, et on a pu lire beaucoup de choses là dessus
sur internet et dans la presse.. et même parfois des choses assez amusantes, comme cet article où on peut lire que la preuve de cette conjecture "permettrait de déterminer tous les triangles rectangles ...dont les côtés sont des nombres entiers".
Les lecteurs de Quadrature savent bien qu'on n'a pas attendu la conjecture ABC pour savoir déterminer les triplets pythagoriciens. Pour se documenter plus sérieusement sur la conjecture ABC on peut consulter un papier de Barry Mazur (disponible sur sa page de l'université d'Harvard) où il explique très bien le problème. Osterlé et Masser se sont intéressés à l'équation linéaire a+b+c=0, où a,b,c sont des entiers (relatifs) premiers entre eux. Par exemple comme : 2+3-5=0. Pour aller plus loin il faut définir le radical d'un nombre entier n comme le produit de ses diviseurs premiers. Par exemple le radical de 18 est 2 *3=6, que l'on note rad(18)=6  (toutes mes excuses pour la frappe mathématique de ce texte). Pour Mazur, un nombre n est hautement divisible par des puissances parfaites (highly divisble by perfect powers) si n est grand par rapport à son radical ; le cas typique et trivial étant celui des puissances d'un nombre premier : ainsi rad(2^100)=2 ; (on note ici 2^2 pour deux au carré). On va élargir cette notion de radical pour analyser la façon dont une solution (A,B,C) du problème A+B+C=0 est divisible par de grandes puissances. On définit la puissance P de cette solution de la manière suivante : supposons que C soit le plus grand des nombres en valeurs absolue, alors :
                         P = ln(|C|) / ln( rad(A.B.C)).
Une valeur élevée exprime que la solution A,B,C est hautement divisible. Examinons par exemple le cas d'un triplet pythagoricien : A=a^2, B=b^2, C=-c^2, où a,b,c sont des nombres premiers. Alors on peut estimer la puissance de cette solution comme suit :   
ln(|C|)= ln[ max(A,B,|C|)]  supérieur ou égal à  [ln A + ln B + ln |C| ]/3 =1/3* ln (AB|C|)

Mais A=a^2, B=b^2, C=-c^2, donc :ln( |ABC| )=2 ln (abc) et finalement :
ln(|C supérieur ou égal à  2/3 ln (abc) = 2/3 ln (rad(ABC)) 
 On a donc obtenu une estimation de la puissance du triplet pythagoricien :
P est supérieure ou égale à 2/3.
La conjecture d'Oesterlé et Masser s'exprime alors de la manière suivante :
Conjecture ABC : pour tout nombre e supérieur à 1, il existe seulement un nombre fini de solutions (A,B,C) dont la puissance est supérieure à e.

Shinichi Mochizuki

Comme le dit très bien Mazur, cette conjecture exprime parfaitement la rareté des solutions de l'équation linéaire divisible par de grandes puissances. C'est cette conjecture que le mathématicien japonais Shinichi Mochizuki a annoncé avoir démontrée en août dernier sur sa page perso. De l'avis des spécialistes de la question, les méthodes de ce mathématicien et ses outils sont assez novateurs et la vérification de la preuve va donc être longue.


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