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dimanche 28 octobre 2012

La conjecture ABC et le grand théorème de Fermat

On a aussi pas mal entendu dire que la conjecture ABC (voir le billet précédent) impliquait le théorème de Fermat pour de grandes valeurs de l'exposant n. rappelons que ce théorème dit que  l'équation x^n+y^n=z^n (on note ici x^n pour x à la puissance n) n'a pas de solutions non triviale en nombres entiers pour n supérieur ou égal à trois.


Si vous avez lu le billet précédent, et que vous adaptez le petit calcul qui a été fait pour les triangles de pythagore (A=a^2, B=b^2, C=-c^2) vous pouvez facilement comprendre l'idée générale de la démonstration.
Considérons une solution de A+B+C=0 qui serait de la forme    (A=a^n, B=b^n, C=-c^n) , avec a,b,c premiers, pour un certain nombre entier n ; le même calcul logarithmique que dans le billet précédent montre que la
puissance de cette solution est supérieure à n/3. Si n est supérieur ou égal à 4, cette puissance P est donc supérieure à 4/3. Or la conjecture ABC d'Oesterlé et Masser nous dit justement qu'il ne peut exister qu'un nombre fini de solutions de A+B+C=0 ayant une puissance supérieure à 4/3. On en déduit donc qu'il n'existe qu'un nombre fini de solutions de ce type de l'équation de Fermat quand l'exposant n  est supérieur ou égal à quatre. Attention, cette finitude est globale, et concerne la réunion des solutions pour  toutes les valeurs de n plus grandes que 4 qui est un ensemble fini. Par conséquent il existe donc un entier n0 tel que quand n est plus grand que n0, l'équation de Fermat n'a plus de solutions du type ci-dessus  (sans cela on trouverait une infinité de solutions de A+B+C=0 de puissance P supérieure à 4/3 ce qui contredit la conjecture ABC).
Nous n'avons toutefois pas démontré complètement que le  théorème de Fermat est vrai pour n supérieur ou égal à n0 (i.e. n assez grand) car nous avons seulement prouvé que pour n assez grand il n'y a plus de solutions formées de triplets de nombre premiers.  Cela dit l'idée de la démonstration peut s'adapter à des nombres premiers entre eux mais pas nécessairement premiers. La difficulté est que dans ce cas  le radical rad(ABC) n'est pas égal au produit abc .

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