Numéro 103 - Janvier-Février-Mars 2017
Forum Exposition Magimatique à la MMI ; Colloque Mathoxynum à l’UMPC.
Textes en questions par Norbert VERDIER et Christian GÉRINI
Les textes empruntés à l'histoire des mathématiques font notre actualité.
Envers et contre-exemples par Bertrand HAUCHECORNE
Des espaces vectoriels aux modules :
Qu'il soit rebelle ou impertinent, pédagogique ou fondamental, le
contre-exemple montre les forces et les limites d'une théorie. Combien
de fois n'a-t-il pas ébranlé des idées qui semblaient pourtant établies ?
Un jeu vidéo pour adultes et une thématique HoTT !
par Aurélien Alvarez
Une nouvelle thématique de recherche est en pleine effervescence ces dernières années, la
théorie homotopique des types, à la croisée entre mathématiques, informatique théorique
et logique. Le sujet est véritablement intriguant, d’autant qu’il interroge jusqu’aux fondements
des mathématiques, directement en lien avec un autre sujet qui, lui, a des retombées
jusque dans l’industrie : la certification de preuves et de programmes. Nous profiterons de
ce texte pour présenter le logiciel
Coq et donner quelques idées et pistes de lecture à propos
de ces mathématiques tout à fait passionnantes et quelque peu déroutantes.
Intégrale su R d’une fraction à dénominateur n-carré par Charlie HERENT
L’objet
de cet article est la démonstration d’une formule mathématique qui a
l’avantage d’être très facilement calculable numériquement
a contrario de sa forme intégrale. Le calcul que nous détaillons
a par ailleurs le mérite de mettre en exergue plusieurs techniques classiques d’analyse.
Un jeu de réussite par Georges MARTY
Voici un exemple d’utilisation d’un programme informatique pour la simulation d’un jeu
de réussite, et aussi pour la détermination de sa probabilité théorique de succès, quand le
modèle combinatoire resté incomplet exige une grande puissance de calcul.
Le langage Python a été préféré pour ce problème car il est l’un des rares, avec Maple, à
offrir la possibilité de manipuler de grands entiers sans limite de taille.
Des professeurs honorés par Roger Mansuy
Charles Hermite et Joseph Bertrand ont tous les deux été honorés par la frappe d’une médaille
dessinée et gravée par le célèbre Jules-Clément Chaplain.
Notes de lecture
Quintiques résolubles par Olivier Bordellès
Cette note se veut être un petit survol sur les polygones de degré irréductibles sur
Q résolubles par radicaux
Polygones réguliers et quadrillages
par Arnaud de Saint Julien
Un écolier doit construire en classe un triangle équilatéral et un carré, à l’aide d’une règle
et d’un compas. Il a oublié son compas mais dispose d’une feuille quadrillée. Peut-il encore
réaliser les constructions demandées ?
Ce texte se propose plus généralement de déterminer dans le plan muni d’un repère orthonormal,
les polygones réguliers dont les sommets sont à coordonnées entières.
« Big Data » ou quand les maths raffinent les données numériques
par Emmanuel Trélat
Pour comprendre l’importante mutation actuelle dans le monde
scientifique avec l’avènement de la Science des Données (le fameux « Big
Data ».
Fréquence et régularité d’une valeur d’adhérence. Application aux moyennes de
Cesaro de suites divergentes
par Gary Bécigneul
Nous nous intéressons ici au théorème de Cesàro qui stipule que la moyenne de Cesàro
d’une suite convergente converge vers la limite de cette suite. Nous généralisons ce théorème
au cas de certaines suites qui ne convergent pas. Pour cela, nous introduisons des
notions de fréquence et de régularité d’une valeur d’adhérence d’une suite. La fréquence
d’une valeur d’adhérence d’une suite mesure l’importance de cette valeur d’adhérence,
c’est-à-dire si la suite l’approche souvent ou non. La régularité d’une valeur d’adhérence
indique avec quelle précision sa fréquence peut être définie. Afin de se permettre d’éviter
de supposer la suite bornée, nous définissons également une notion de poids à l’infini d’une
suite. Le théorème auquel nous aboutissons énonce que pour toute suite
u de poids nul à
l’infini, ayant un nombre fini
p de valeurs d’adhérence
et telle que toutes ses
valeurs d’adhérence lui soient régulières, la limite de la moyenne de la suite
u, au sens de
Cesàro, est donnée par le barycentre
de ses valeurs d’adhérence, où les pondérations
du barycentre sont les fréquences pour
i entre 1 et
p. On obtient ainsi un
calcul explicite de la limite de la moyenne de Cesàro de la suite
u. Nous donnons ensuite
des exemples qui justifient la nécessité des hypothèses de régularité et de nullité du poids
à l’infini. Enfin, nous proposons en application du théorème un exercice corrigé.
Le coin des problèmes par Pierre Bornsztein
Cette rubrique entend proposer des énoncés brefs et attractifs, dans le
style des compétitions mathématiques, mais de difficulté plus ou moins
grande, et sans contrainte de niveau. Il suffit
qu’un problème vous ait
semblé « plaisant et délectable », vous ait fait chercher...
