Conférence grand public à la Grande Mosquée de Paris

Conférence à la Grande Mosquée de Paris (salle de conférence)

Samedi 20 avril 2013, 15h

Le traité d'As-Samaw’al (Al-Maghribî) : « L’éblouissant dans l’algèbre » (1149)

اَلْـبَاهِـرُ فِي ٱلْـجَبْـرِ لِلسَّـمَوْءَلِ ٱلْـمَغْـرِبِيِّ

par François Nicolas (Cirphles, ENS-Ulm)

Cette conférence s’adresse à des non-spécialistes.
Elle introduira aux enjeux de pensée propres à ce traité d’algèbre, rédigé au XII° siècle par un génie mathématique de 19 ans.
Elle resituera d'abord ce traité dans la trajectoire d’ensemble d’une algèbre arabe, inventée à Bagdad au IX° siècle puis développée et diversifiée pendant près de 500 ans : un « calcul sur l’inconnu » (prenant le relais du calcul arithmétique sur le connu) ouvre à une « théorie des équations » qui vient enfoncer un coin mathématique entre l’arithmétique des nombres et la géométrie des figures.
Cette nouvelle discipline restera-t-elle alors un nouveau type de calcul, empiriquement vérifiable (une sorte de calcul informatique avant la lettre) ou fera-t-elle émerger une véritable troisième discipline mathématique, autonome et dialoguant à part égale avec ses deux devancières ? Cette nouvelle algèbre pourra-t-elle ainsi se disposer sous la loi proprement mathématique de la démonstration et inventer une démonstration proprement algébrique ?
Dans ce contexte, on précisera les enjeux propres du moment « As-Samaw’al », tant en termes de calcul que de rationalité démonstrative. On illustrera son apport par trois exemples simples :

• les secrets de l’équation -(-1)=+1 où le même signe « - » intervient en deux acceptions discrètement décalées ;
  
• les mystères de la division polynomiale : peut-on ainsi calculer (6x⁸ - 80x⁵ + 20x) / (2x⁵ + 8x⁴ – 9) ?;
  
• les ressources de sa démonstration par induction algébrique plutôt que par déduction géométrique.

Après As-Samaw’al, l’invention algébrique va progressivement se tarir pour ouvrir le temps des manuels récapitulatifs. Il faudra attendre les XVI° et XVII° siècles européens pour que l’invention algébrique ressuscite, sur la base cette fois d'une lettre « x » que la mathématique arabe ignorait.
Au total, on rehaussera cette épopée collective de pensée, cette audace d'un « calcul de la poussière », ce courage de braver les interdits d’Aristote (« On ne peut pas, dans la démonstration, passer d'un genre à un autre : on ne peut pas, par exemple, prouver une proposition géométrique par l'arithmétique. ») pour faire émerger un nouveau continent mathématique (au lieu même de la faille entre géométrie axiomatisée et arithmétique calculatoire) et composer ainsi un univers mathématique unifié (expulsant la théorie musicale de son abri archaïque).
On se réjouira que cette leçon - oser penser et inventer, à rebours d'un développent séparé selon des territoires antiquement cloisonnés ! - nous parvienne en langue arabe.

***

Référence : Al-Bâhir en algèbre d'As-Samaw'al - Édition, notes et introduction par Salah Ahmad et Roshdi Rashed. Imp. de l'Université de Damas (1972)