Recherche avec ordinateur de formules algébriques pour les nombres premiersT

De Monsieur Pierre Germain Lacour (auteur d'un article
sur ce sujet dans ion de mon article
dans Quadrature n° 94 d'octobre, novembre et décembre 2014 ), nous recevons le résumé suivant :
"Pour chaque nombre premier pn je forme les suites de 5 nombres premiers p0 à p4 tels que : pn-delta ≤ p0 < p1 < p2 < p3 < p4=pn
Je forme le polynôme du 4-ième degré qui vaut p0 pour x=0, p1 pour x=1, p2 pour x=2, p3 pour x=3 et p4 pour x=4.
Je vérifie et je compte ensuite les nombres premiers obtenus consécutivement avant p0 et après p4.
Et si leur nombre est assez grand je fais le changement d'origine pour avoir x=0 au premier nombre premier obtenu.

En choisissant arbitrairement delta = 5000 j'ai pu aller en 12 ou 14 jours jusqu'à pn = 2053253
et en choisissant delta = 10000 j'ai pu aller en 20 ou 22 jours jusqu'à pn = 226129 seulement.

J'ai trouvé ou retrouvé uniquement les neuf formules suivantes à coefficients entiers qui donnent
consécutivement n nombres premiers tous positifs et tous différents pour x allant de 0 à n-1 avec n ≥ 39 :

- avec pn = 7109    : p(x)=45x4-3416x3+96738x2-1212769x+5692031    où n = 42 ( delta = 6852 )
- avec pn = 18269   : p(x)=26x4-2434x3+85765x2-1347839x+7978193    où n = 40 ( delta = 9300 )
- avec pn = 19387   : p(x)=108x4-9777x3+331416x2-4984701x+28080037 où n = 43 ( delta = 4464 )
- avec pn = 30403   : p(x)=41x4-4478x3+182261x2-3272530x+21867403  où n = 39 ( delta = 9656 )
- avec pn = 35863   : p(x)=23x4-2204x3+79053x2-1257526x+7518767    où n = 40 ( delta = 1320 )
- avec pn = 39103   : p(x)=8x4-806x3+29865x2-482557x+2906153       où n = 41 ( delta = 4700 )
- avec pn = 97777   : p(x)=25x4-2504x3+92566x2-1489231x+8825501    où n = 39 ( delta = 8676 )
- avec pn = 216233  : p(x)=10x4-604x3+13152x2-122068x+620303       où n = 39 ( delta = 4800 )
- avec pn = 1001723 : p(x)=314x4-15150x3+272729x2-2169633x+7430677 où n = 39 ( delta = 4476 )

Avec un delta plus petit l'exploration va plus vite mais les bonnes formules sont plus rares.

En plus, la formule suivante donne 2 fois le nombre premier 5077 mais c'est la plus facile à trouver :

- avec pn = 1801    : p(x)=x4-51x3+1010x2-8592x+26293              où n = 40 ( delta = 1644 )

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J'ai trouvé aussi la formule suivante à coefficents fractionnaires et du 6-ième degré qui donne
consécutivement pour x = 0 à 48 une suite de 49 nombres premiers en valeur absolue tous différents.

p(x)=(-x6+141x5-8311x4+262983x3-4729720x2+46034028x-190148424)/24  ( pn = 3023 et delta = 672 )

Mais avec les conditions acceptées pour sa recherche, cette formule n'a pas un score très élévé."

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