Si vous avez lu le billet précédent, et que vous adaptez le petit calcul qui a été fait pour les triangles de pythagore (A=a^2, B=b^2, C=-c^2) vous pouvez facilement comprendre l'idée générale de la démonstration.
Considérons une solution de A+B+C=0 qui serait de la forme (A=a^n, B=b^n, C=-c^n) , avec a,b,c premiers, pour un certain nombre entier n ; le même calcul logarithmique que dans le billet précédent montre que la
puissance de cette solution est supérieure à n/3. Si n est supérieur ou égal à 4, cette puissance P est donc supérieure à 4/3. Or la conjecture ABC d'Oesterlé et Masser nous dit justement qu'il ne peut exister qu'un nombre fini de solutions de A+B+C=0 ayant une puissance supérieure à 4/3. On en déduit donc qu'il n'existe qu'un nombre fini de solutions de ce type de l'équation de Fermat quand l'exposant n est supérieur ou égal à quatre. Attention, cette finitude est globale, et concerne la réunion des solutions pour toutes les valeurs de n plus grandes que 4 qui est un ensemble fini. Par conséquent il existe donc un entier n0 tel que quand n est plus grand que n0, l'équation de Fermat n'a plus de solutions du type ci-dessus (sans cela on trouverait une infinité de solutions de A+B+C=0 de puissance P supérieure à 4/3 ce qui contredit la conjecture ABC).
Nous n'avons toutefois pas démontré complètement que le théorème de Fermat est vrai pour n supérieur ou égal à n0 (i.e. n assez grand) car nous avons seulement prouvé que pour n assez grand il n'y a plus de solutions formées de triplets de nombre premiers. Cela dit l'idée de la démonstration peut s'adapter à des nombres premiers entre eux mais pas nécessairement premiers. La difficulté est que dans ce cas le radical rad(ABC) n'est pas égal au produit abc .
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